Enunciado

Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela.

f x = e - x sen ⁡ x ,                     a = 0

Passo 1

Para encontrar essa série, vamos usar o método de multiplicação de séries, com as séries centradas em a = 0

e - x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n ! = 1 - x + x 2 2 - x 3 6 + …

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x - x 3 6 + x 5 120 - …

Multiplicando as séries

e - x sen ⁡ x = 1 - x + x 2 2 - x 3 6 + … x - x 3 6 + x 5 120 - …

Se analisarmos bem, teremos termos com todos os graus a partir do 1 , e para encontrarmos T 3 , precisamos do polinômio de grau 3 , então utilizaremos apenas os termos que tem grau 3 ou inferior.

Passo 2

Vamos a multiplicação

×

1 - x + x 2 2 - x 3 6 + …

                x                     - x 3 6 + …

+

                    x - x 2 + x 3 2 - …

                                            - x 3 6 + …

                x - x 2 + x 3 3 + …

Então nosso T 3 é

T 3 x = x - x 2 + x 3 3

Passo 3

Traçando a função e T 3 no plano

De vermelho temos a função f e em cinza T 3 .

Resposta

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