Enunciado

Seja

  f x = ∑ n = 1 ∞ x n n 2  

Encontre os intervalos de convergência para f ,   f ' e   f ' ' .

Passo 1

Nesse exercício devemos determinar os intervalos de valores de x para os quais as séries f ,   f ' e   f ' ' convergem. Para isso, podemos utilizar alguns testes, por exemplo, o Teste da Razão.

Primeiramente, vamos calcular as derivadas f ' e f ' ' . Para isso, devemos derivar termo a termo a série dada acima.

f ' x = ∑ n = 1 ∞ x n n 2 ' = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 n 2 = ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n

f ' ' x = ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n ' = ∑ n = 2 ∞ ( n - 1 ) x n - 2 n

Passo 2

Agora que determinamos as séries derivadas, podemos aplicar o Teste da Razão na função f ( x ) a fim de descobrir seu raio de convergência.

Para f ( x ) temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x ( n + 1 ) n + 1 2 ⋅ n 2 x n = lim n → ∞ ⁡ x ⋅ n n + 1 2 = | x |

Logo, pelo Teste da Razão, f ( x ) irá convergir para x < 1 , ou seja, R=1..

Passo 3

Quando x = ± 1 temos

| f x | = 1 n n 2 = 1 n 2

Sabemos que a série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 é convergente (p-série com p=2), por isso, pelo Teste da Comparação, ∑ n = 1 ∞ x n / n 2 , é absolutamente convergente, e, portanto, convergente, para x = ± 1 .

Dessa forma, o intervalo de convergência de f(x) é [-1,1].

Passo 4

Pelo Teorema 2, os raios de convergência para f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , são iguais ao raio de f ( x ) que é R=1. Assim só será necessário analisar a convergência dessas derivadas nos extremos, ou seja, para x = ± 1 .

Para f ' ( x ) temos

f ' 1 = 1 n - 1 n = 1 n

Sabemos que a série harmônica ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge, assim, pelo Teste de Comparação, a função f ' ( x ) diverge em x = 1 . Em x = - 1 temos:

f ' - 1 = - 1 1 - n n = - 1 1 - n ⋅ 1 n

Pelo Teste da Série Alternada, a série ∑ n = 1 ∞ f ' ( - 1 ) , converge.

Assim, o intervalo de convergência de ∑ n = 1 ∞ f ' ( x ) é [ - 1,1 ) .

Passo 5

Estamos chegando ao fim! Agora só falta analisar o comportamento de f ' ' ( x ) para x = ± 1 .

Para x = - 1 temos

lim n → ∞ ⁡ f ' ' - 1 = lim n → ∞ ⁡ ( n - 1 ) ( - 1 ) n - 2 n = ( - 1 ) n - 2 ⋅ lim n → ∞ ⁡ n - 1 n = ( - 1 ) n - 2

Do raciocínio expresso acima vemos que lim n → ∞ ⁡ f ' ' - 1 não existe. Já para x = 1 temos

lim n → ∞ ⁡ f ' ' 1 = lim n → ∞ ⁡ ( n - 1 ) 1 n - 2 n = lim n → ∞ ⁡ n - 1 n = 1 ≠ 0

Assim, pelo Teste para Divergência, vemos que a série diverge para x = ± 1 . Portanto, o intervalo de convergência para a série ∑ n = 2 ∞ f ' ' x é (-1, 1).

Acabamos!

Resposta

f : [ - 1 ,   1 ]

f ' :   [ - 1,1 )

f ' ' : ( - 1 ,   1 )

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