Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C y e x d x + 2 e x d y

C é um retângulo com os vértices 0,0 , 3,0 , 3,4   e   ( 0,4 ) .

Passo 1

O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido antihorário de C , percorrido só uma vez.

Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D , então

∬ P d x + Q d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

A curva C e região D são exibidas abaixo.

Passo 2

Usando o Teorema de Green, podemos escrever:

∮ C . y e x d x + 2 e x d y = ∬ ∂ ∂ x 2 e x - ∂ ∂ y y e x d A

∮ C . y e x d x + 2 e x d y = ∫ 0 4 ∫ 0 3 ( 2 e x - e x ) d y d x

Vamos resolver primeiro pra y !

∮ C . y e x d x + 2 e x d y = ∫ 0 4 e x 0 3 d x

∮ C . y e x d x + 2 e x d y = ∫ 0 4 e 3 - e 0 d x

∮ C . y e x d x + 2 e x d y = ( e 3 - 1 ) ∫ 0 4 d x

Integrando, agora, em x :

∮ C . y e x d x + 2 e x d y = 4 ( e 3 - 1 )

Resposta

A integral de linha é igual a:

∮ C . y e x d x + 2 e x d y = 4 ( e 3 - 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y C consiste num arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . y 2 d x + x 2 y d y C é o retângulo com os vértices em 0,0 , 5,0 , 5,4e( 0,4 ) .
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y C consiste num arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y C é um triângulo com os vértices em 0,0 , 1,0e( 1,2 ) .