Enunciado

Use o Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo.

Passo 2

Vamos fixar x e variar o y . Temos que a região fechada D é delimitada inferiormente por y = x e superiormente por y = 1 . Assim, temos que nossos intervalos serão 0 ≤ x ≤ π 2 e x ≤ y ≤ 1 . Pela ordem dos pontos, percebemos que a curva C está orientada no sentido anti-horário, logo já temos nossa curva orientada no sentido positivo. Assim, aplicando o teorema de Green, temos que

∫ C F → ⋅ d r → = - ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ⋅ d A =

= ∫ ∫ D ∂ ∂ x ( tan - 1 ⁡ x ) - ∂ ∂ y x 2 + 1 ⋅ d A =

= ∫ 0 1 ∫ x 1 ( 1 1 + x 2 - 0 ) ⋅ d y ⋅ d x =

= ∫ - π 2 π 2 1 1 + x 2 ⋅ y x 1 ⋅ d x = ∫ 0 1 1 1 + x 2 ⋅ ( 1 - x ) ⋅ d x

= tan - 1 ⁡ x - 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 + x 2 0 1 = π 4 - 1 2 ⋅ ln ⁡ 2

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = π 4 - 1 2 ⋅ ln ⁡ 2

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