Enunciado

Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x 2 + y 2 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 .

Passo 1

Temos uma integral tripla do tipo I. Como o sólido está limitado acima pela esfera e abaixo pelo paraboloide, temos:

∭ E d V

∬ D ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 d z d A

Percebam que o limite superior foi obtido ao isolarmos o z na equação da esfera.

O questionamento agora é: quem é a região D ?

Ela é obtida a partir da projeção do nosso sólido no plano x y . Para obtermos esta projeção, basta igualarmos o valor de z das duas equações (paraboloide e esfera). Portanto, temos:

z c o n e 2 = z e s f e r a 2

x 2 + y 2 2 = 2 - x 2 - y 2

Passando para coordenadas polares, temos:

r 4 + r 2 - 2 = 0

r 2 + 2 ⋅ r 2 - 1 = 0

Como r > 0 e pertence aos números reais, a única solução se dá quando:

r = 1

Portanto a interseção das duas superfícies é uma circunferência de raio 1 e centro na origem. Passando a nossa função para coordenadas cilíndricas, temos que resolver a seguinte integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r d z d r d θ

Passo 2

Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r z r 2 2 - r 2 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 - r 2 - r 3 d r d θ

∫ 0 2 π - 1 3 ⋅ 2 - r 2 3 / 2 - r 4 4 0 1 d θ

∫ 0 2 π - 1 3 - 1 4 - - 2 2 3 d θ

∫ 0 2 π 8 2 - 7 12 d θ

π 8 2 - 7 6

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 2 - r 2 r d z d r d θ = π 8 2 - 7 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ ∫ Ey zd V ondeE está acima do plano z = 0 , abaixo do plano z = y e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 .
Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ ∫ Ezd V ondeE é limitado pelos planosy = 0 , z = 0 , x + y = 2 e pelo cilindroy 2 + z 2 = 1 no primeiro octante.
Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x d V , onde E está delimitado pelos planos z = 0 e z = x + y + 3 e pelos cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 .
∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 0 z / 3 r 3 d rd zd θ
∫ 0 2 π ∫ 0 θ 2 π ∫ 0 3 + 24 r 2 d zrd rd θ