Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 24
Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide e a esfera .
Passo 1
Temos uma integral tripla do tipo I. Como o sólido está limitado acima pela esfera e abaixo pelo paraboloide, temos:
Percebam que o limite superior foi obtido ao isolarmos o na equação da esfera.
O questionamento agora é: quem é a região ?
Ela é obtida a partir da projeção do nosso sólido no plano . Para obtermos esta projeção, basta igualarmos o valor de das duas equações (paraboloide e esfera). Portanto, temos:
Passando para coordenadas polares, temos:
Como e pertence aos números reais, a única solução se dá quando:
Portanto a interseção das duas superfícies é uma circunferência de raio 1 e centro na origem. Passando a nossa função para coordenadas cilíndricas, temos que resolver a seguinte integral:
Passo 2
Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,
Resposta
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