Enunciado

Use o Teorema de Pappus para encontrar o volume do sólido dado.

Uma esfera de raio r (use o Exemplo 4 )

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos utilizar o Teorema de Pappus para encontrar o volume do sólido em questão. Esse teorema nos diz que o volume é dado pela área da superfície geratriz do sólido multiplicado pelo comprimento do caminho percorrido pelo centroide dessa superfície.

Passo 2

De forma geral, temos que

V = A d

O centro de massa da esfera percorre o seguinte caminho pelo centroide a superfície

d = 2 π y - = 2 π 4 r 3 π = 8 r 3

Passo 3

Sabemos que a área da superfície geratriz de uma esfera pode ser calculada utilizando a seguinte relação

A = π r 2 2

Dessa forma, utilizando o Teorema de Pappus, temos

V = π r 2 2 8 r 3 = 4 3 π r 3

Resposta

V = 4 3 π r 3

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Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . x + y = 4 , x = y 2 - 4 y + 4
Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . y = 4 - 2 x , y = 0 , x = 0 ; s o b r ex = - 1
Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . x = 2 y 2 , y ≥ 0 , x = 2 , s o b r ex = 2
Use o método de cascas cilíndricas para induzir o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre o eixo especificado. y = x 3 , y = 8 , x = 0 ; s o b r ex = 3
Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . x = 2 y 2 , x = y 2 + 1 , s o b r ey = - 2