Enunciado

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C .

∮ C 8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3

Onde C é a fronteira do triângulo equilátero situado no plano - 3 x + 3 z + 6 = 0 de vértices P 2,2 , 0 , Q = 2   ,   6   ,   0 e R = 2 + 3   ,   4   ,   3 .

Passo 1

Falaa aíi jooveemm... Cadê a animação para mais uma questãozinha do Tio Stokes??

Booraaa...

Vamo ver quem diaxo é esse trianglin aí:

Taí o cujo dito. Portanto o enunciado nos diz que:

∮ C F   d r = 4 3

Mas sei lá em... não confio muito nesses caras. Vamos ver se isso é verdade mesmo??

Podemos utilizar o teorema de Stokes pra ver se é verdade mesmo ou não. O teorema diz o seguinte:

∮ C F   d r = ∬ S r o t F →     .     n →   d s

Onde S   é uma superfície cuja borda é a curva C ... Canfundiu? Relaxa! Essa aqui é a nossa superfície:

Percebe que a borda da superfície é a curva C ?? Pouca diferença né? Mas é importante.

Então vamos obter os dados da integral dupla.

Passo 2

Começando pelo rotacional; você já deve (ou deveria) estar cansado de ver que o tal do rotacional é obtido assim:

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Lembrando que:

F x , y , z = 8 x - 2 y ⏟ F 1   ; y ⏟ F 2   ; 3 z ⏟ F 3

Já sacou a ideia? É só encontrar essas derivadas parciais; olha só:

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = 0 - 0 = 0

∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = 0 - 0 = 0

E

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0 - - 2 = 2

Então o nosso rotacional ficou assim:

r o t F → = 0   ; 0   ; 2

Tranquilo demais. Agora precisamos de um tal n → que costumamos chamar de vetor normal.

Mas normal a quem?? A nossa superfície. Só que note que a nossa superfície esta contida num plano; então ser normal a superfície é também ser normal ao plano.

Se você se lembrar, dado um plano qualquer: a x + b y + c z = d o vetor normal à esse cara será: n → = a   ; b   ; c .

Então no nosso caso, seja o plano: - 3 3 + 0 y + z = - 6 ; teremos:

n → = - 3 3   ; 0   ; 1

Show dibola. Então já podemos tacar na integral para ver o que se passa:

Passo 3

∬ S 0   ; 0   ; 2   .     - 3 3   ; 0   ; 1     d s

Isso vai ficar:

∬ S 2   d s = 2   ∬ S d s

Aquela integral dupla de d s nada mais é do que a área do nosso brinquedo. Se a gente projetar a nossa superfície no plano x y vamos ter o seguinte:

Onde P = 2,2   ; Q = 2,6   e R = 2 + 3   ,   4 . Ou seja, a gente ignora a coordenada em z pq estamos só no plano x y .

Então o que precisamos é da area desse triangulo aí. Lembra que para a area de um triangulo temos base vezes altura por doi?

Se a nossa base é b = 6 - 2 = 4 e a nossa altura h = 2 + 3 - 2 = 3 .

Então a area será:

2 ∬ S d x d y = 2 4 3 2 = 4 3

That’s all!! See u!

Resposta

Concluindo, é verdade que:

∮ C 8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3

Com a curva orientada no sentido anti-horário.

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