Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (4 + 3^n)/(2^n)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: sum a_n e sum b_n , podemos concluir algumas coisas:

  • Se a_n >= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n diverge, então sum a_n também diverge.
  • Se a_n <= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n converge, então sum a_n também converge.
  • Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela diverge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série diverge, precisamos de uma série divergente que seus termos sejam menores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a_n , podemos dizer que

a_n = (4 + 3^n)/(2^n)

E isso vale para n >= 1 .

Para compararmos, vamos usar

b_n = (3^n)/(2^n)

Mas porque essa série?

Primeiramente, porque nós podemos comprovar a divergencia desta série, pois ela é uma série geométrica com r > 1 , então ela diverge.

Passo 3

Outro motivo pelo qual vamos usar b_n = (3^n)/(2^n) é que

a_n > b_n , AA n >= 1

Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor

(4 + 3^n)/(2^n) > (3^n)/(2^n)

Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerador e nós sabemos que 4 + 3^n > 3^n sempre, afinal se somarmos 4 de um número, o próprio número vai ser sempre menor.

Então como a_n > b_n , AA n >= 1 e nós sabemos que sum_(n = 1)^(oo) b_n diverge, pelo teste da comparação

sum_(n = 1)^(oo) (4 + 3^n)/(2^n)

É divergente.

Resposta

Diverge.

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Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ 1 k k 2 + 1
3-32. Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 3 n 4 + 1 3
3-32. Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 0 ∞ 1 + s e nn 10 n
3-32. Determine se a série converge ou diverge. ∑ k = 1 ∞ ( 2 k - 1 ) ( k 2 - 1 ) ( k + 1 ) ( k 2 + 4 ) ² ²
3-32. Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n ² ²