Enunciado

Use o teorema do valor intermediário para mostrar que existe uma raiz no intervalo especificado para a equação dada.

sen ⁡ x = x 2 - x ,     1,2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a equação

sen ⁡ x = x 2 - x

E nosso objetivo é aplicar o teorema do valor intermediário para mostrar que existe uma raiz no intervalo x = 1,2 .

Tem ideia de como fazemos isso?

O teorema diz que se temos uma função f continua em um intervalo a , b e N é um número entre f a e f b , se f a ≠ f b , certamente existe um valor x = c tal que f c = N .

Portanto, para mostrar que existe uma raiz no intervalo da função, temos que encontrar um valor positivo e outro negativo, pois como a equação é continua, certamente para ir de a a b , certamente deve passar pelo ponto c = 0 .

Show?

Passo 2

Podemos reescrever a equação em questão passando tudo para um lado da igualdade

sen ⁡ x = x 2 - x → sen ⁡ x - x 2 + x = 0

f x = sen ⁡ x - x 2 + x

Sabemos que f ( x ) é contínua no intervalo [ 1,2 ] , então vamos calcular os valores das funções nos limites do intervalo.

Em x = 1 ...

f 1 = sen ⁡ 1 - 1 2 + 1 = sen ⁡ 1

f 1 = 0,84

Agora em x = 2

f 2 = sen ⁡ 2 - 2 2 + 2 = sen ⁡ 2 - 2

f 2 = - 1,09

Como f 2 < 0 e f 1 > 0 então, pelo teorema do valor intermdiário, existe um número c no intervalo ( 1,2 ) de tal forma que f c = 0 .

Dessa forma, existe uma raiz para a equação sen ⁡ x - x 2 + x = 0 no intervalo ( 1,2 ) .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

f 2 < 0 e f 1 > 0

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