Enunciado

Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.

f ' x > 0 para todo x ≠ 1

Assíntota vertical x = 1

f ' ' x > 0 e x < 1 ou x > 3

f ' ' x < 0 se 1 < x < 3

Passo 1

O enunciado pede pra a gente esboçar um gráfico de uma função desconhecida e nos da as seguintes informações:

f ' x > 0 para todo x ≠ 1

Assíntota vertical x = 1

f ' ' x > 0 e x < 1 ou x > 3

f ' ' x < 0 se 1 < x < 3

O que temos nas nossas mãos é um grande quebra cabeça! Antes de qualquer coisa precisamos lembrar que a derivada primeira,  f ' ( x ) indica se a função é crescente ou decrescente. Já a derivada segunda vai nos falar se a concavidade é pra cima ou pra baixo!

Então observando as informações acima temos que:

A função é sempre crescente, menos em x = 1 ;

Se temos uma assíntota vertical em x = 1 , então aqui vamos dar uma olhadinha em o que precisamos pra ter uma assíntota vertical;

A concavidade é pra cima nos intervalos ( - ∞ , 1 ) e ( 3 , ∞ ) ;

A concavidade é pra baixo no intervalo de ( 1,3 ) ;

Obviamente, com apenas essas informações, vamos ter soluções infinitas! Então é hora de colocar a criatividade pra jogo!

Passo 2

Vamos começar pela assíntota! Para termos uma assíntota vertical precisamos obedecer as seguintes condições:

lim x → a - ⁡ f x = ± ∞

lim x → a + ⁡ f x = ± ∞

Ou seja:

lim x → 1 - ⁡ f x = ± ∞

lim x → 1 + ⁡ f x = ± ∞

Podemos só tentar desenhar alguma curva com essas condições, ou pensar em uma função que se encaixa nesse gráfico. Por exemplo, se x não esta definida em 1 podemos ter uma função do tipo:

f x = 1 x - 1

Assim:

lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 = ∞

lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 = - ∞

Nesse caso teríamos um gráfico assim:

Passo 3

Agora vamos pensar na informação: “A função é sempre crescente, menos em x = 1 ”

Isso não quer dizer que a função é decrescente em x = 1 , quer dizer apenas que a função não esta definida pra x = 1 . O que faz perfeito sentido com a função que estamos testando!

Mas nem tudo são flores... nossa função teste é decrescente. Pra mudar isso podemos fazer:

f x = - 1 x - 1

Nosso gráfico ficaria:

Passo 4

Agora vamos para as informações de concavidade!

A concavidade é pra cima nos intervalos ( - ∞ , 1 ) e ( 3 , ∞ ) ;

A concavidade é pra baixo no intervalo de ( 1,3 ) .

Comparando com o gráfico vemos que apenas a parte esquerda esta totamente certa. Então precisamos modificar o gráfico para x > 3 , sua concavidade deverá ser pra cima e ela deve continuar sendo crescente:

Prontinhooo!

Resposta

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3. Abaixo está o gráfico de uma função posição de uma partícula movendo-se em um eixo horizontal x .a) A partícula está se movendo para a esquerda ou para a direita no instante t 0 ?b) A aceleração é
2. Abaixo estão os gráficos de três funções velocidade. Em cada caso, determine o sinal da aceleração e, então, se a partícula está aumentando ou diminuindo a velocidade.
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4. Para os gráficos a seguir, associe as funções posição (a)–(c) com as funções velocidade (I)–(III) correspondentes.