Enunciado

Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade:

0 ≤ ∫ 0 2 sen ⁡ 1 2 π x d x ≤ 2

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

O primeiro passo para a resolução da questão é então usar o teorema para comparar o valor da integral com esse número χ no intervalo [ 0 ,   2 ] .

Passo 2

Aplicando o teorema, temos a seguinte igualdade:

∫ 0 2 sen ⁡ 1 2 π x d x =   sen ⁡ 1 2 π χ 2 - 0 = 2 sen ⁡ 1 2 π χ

Pra χ ∈ [ 0 ,   2 ] teremos 0 ≤ 1 2 π χ ≤ π , valores que correspondem ao primeiro e segundo quadrantes, que tem seno entre 0 e 1. Assim:

0 ≤ 2 sen ⁡ 1 2 π χ ≤ 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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