Enunciado

Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade:

∫ 0 2 1 x 2 + 4 d x ≤ 1 2

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

O primeiro passo para a resolução da questão é então usar o teorema para comparar o valor da integral e desse número χ no intervalo [ 0 ,   2 ] .

Passo 2

Aplicando o teorema, temos a seguinte igualdade:

∫ 0 2 1 x 2 + 4 d x = 1 χ 2 + 4 2 - 0 = 2 χ 2 + 4

Agora basta provarmos que esse valor é de fato menor que 1 2 . Qualquer que seja o número χ , temos χ 2 ≥ 0 , então podemos afirmar que 2 χ 2 + 4 ≤ 2 4 = 1 2 , como queríamos provar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A função J 0 definida por J 0 x = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ xs e n t d t é chamada de função de Bessel de ordem zero. (a) Encontre uma função f e um intervalo [ a ,b ] para o qual J 0 ( 1 ) seja o valor médio d
Se uma xícara de café tem uma temperatura de 95 ° C em uma sala cuja temperatura ambiente é de 20 ° C , de acordo com a lei do resfriamento de Newton, a tempertatura do café após t minutos será T t =
Encontre o valor médio da função no intervalo dado. h x = cos 4 ⁡ x . s e nx ,[ 0 , π ]
Encontre os valores de b tais que o valor médio de f x = 2 + 6 x - 3 x ² ² no intervalo [ 0 , b ] é igual a 3 .
Encontre o valor médio de f em [ 0,8 ] .