Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

14. ∑ n = 1 ∞ n ! 100 n

Passo 1

Bom, o teste da razão é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Sendo a n a sequência da série que estamos procurando a convergência. Se L > 1 , a série diverge, mas se L < 1 , ela vai convergir.

No caso da série da questão, nosso teste fica:

L = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 100 n + 1 n ! 100 n = l i m n → ∞ ( n + 1 ) ! 100 n + 1 100 n n !

Simplificando o 100 n :

L = l i m n → ∞ ( n + 1 ) ! 100   n !

E tirando do módulo:

L = l i m n → ∞ ( n + 1 ) ! 100   n !

Passo 2

Agora que já escrevemos de uma maneira mais fácil, precisamos resolver o limite. Da maneira que ele está, vai dar uma indeterminação, vamos abrir o fatorial de cima uma vez para podermos simplificar ele:

L = l i m n → ∞ n + 1   n ! 100   n ! = l i m n → ∞ n + 1   100  

Ao aplicarmos o limite, só o numerador tende para infinito porque só ele tem n , assim:

L → ∞

Por causa disso a série é divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

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