Enunciado

Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ n n 2 ( n 2 )

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

a n = n n 2 ( n 2 )

Vamos aplicar o teste da raiz para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n n = lim n →  ∞ ⁡ n n 2 ( n 2 ) n =   lim n →  ∞ ⁡ n 2 n = 0  

Como a função do numerador é um polinômio e o denominador é exponencial, o denominador cresce infinitamente mais rápido, fazendo com que o limite tenda para zero.

De acordo com o teste da raiz, se o limite é menor que 1 a série converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste da raiz.

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