Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

15. ∑ n = 1 ∞ n π n - 3 n - 1

Passo 1

Pelo teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Vamos ter o seguinte para a série dada:

L = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) π n + 1 - 3 n n π n - 3 n - 1 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 π n + 1 - 3 n - 3 n - 1 n π n  

Se L > 1 , a série é divergente, se L < 1 ela será convergente.

Vamos organizar e simplificar os termos para ajudar a resolver o limite, cortando o - 3 n e o π n :

L = lim n → ∞ ⁡ n + 1 π 1 - 3 - 1 n   = l i m n → ∞ n + 1 π - 3 n

Tirando do módulo, o sinal negativo do - 3 some:

L = l i m n → ∞ n + 1 π 3 n

Passo 2

Pronto, agora precisamos resolver o limite, mas do jeito que está ele iria dar uma indeterminação. Vamos tirar fator comum no denominador para contornarmos esse problema:

L = l i m n → ∞ n 1 + 1 n π 3 n

Simplificando n :

L = l i m n → ∞ 1 + 1 n π 3

Passo 3

Aí sim a gente aplica o limite, o termo 1 n vai tender para zero, sobrando:

L = 1 π 3 = π 3

Mas isso indica que L > 1 , e por isso a série é divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

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