Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4

Passo 1

Pessoal, uma série ∑ a n é dita absolutamente convergente se ∑ | a n | for convergente. Portanto, a nossa série será absolutamente convergente se a série a seguir for convergente

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4 = ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 4

Vamos aplicar o teste de comparação de limite. Suponhamos que temos duas séries ∑ a n e ∑ b n tal que a n , b n ≥ 0 para todo n . Então, se o limite lim n → ∞ ⁡ a n b n ≠ 0 ≠ ∞ as duas series convergem ou divergem.

Usando o teste com a n = n n 2 + 4 e b n = 1 n . Assim,

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 4 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 + 4

= lim n → ∞ ⁡ n 2 + 4 n 2 + 4 - 4 n 2 + 4 = lim n → ∞ ⁡ 1 - 4 n 2 + 4 =   1 - 0 ≠ 0 ≠ ∞

A série dada não converge absolutamente porque ∑ n = 1 ∞ 1 n é divergente, pois temos um caso de uma série p com p ≤ 1 (divergente).

Passo 2

Agora, vamos checar a convergência da série ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4 . Temos aqui uma série alternada! Portanto, essa série converge se duas condições forem atendidas:

  1. lim n → ∞ ⁡ b n = 0
  2. b n é uma sequência decrescente.

No nosso problema, b n = n n 2 + 4 . Vamos verificar cada uma das condições:

  • Condição 1: limite de b n
  • lim n → ∞ ⁡ b n = 0

    lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 4 = lim n → ∞ ⁡ n n 2 n 2 n 2 + 4 n 2

    lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 + 4 / n 2 = 0 1 + 0 = 0

  • Condição 2: b n é uma sequência decrescente

Seja f x = x x 2 + 4 . Vamos analisar a derivada dessa função:

f ' x = 4 - x 2 x 2 + 4 2

Aqui podemos ver que f ' x < 0 para x > 2 . Logo, n n 2 + 4 é decrescente para n > 2 . Logo, essa série é convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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