Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

16. ∑ n = 1 ∞ n 10 - 10 n + 1

Passo 1

Ao aplicarmos o teste da razão, teremos o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Sendo que a n = n 10 - 10 n + 1 para o caso da nossa série. Se L > 1 a série diverge, e se L < 1 , a série converge.

Temos então:

L = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 10 - 10 n + 2   n 10 - 10 n + 1   = l i m n → ∞ ( n + 1 ) 10 - 10 n + 2 - 10 n + 1 n 10  

Vamos agora simplificar algumas coisas para facilitar na hora de resolver o limite, cortando o - 10 n + 1 :

L = l i m n → ∞ ( n + 1 ) 10 - 10 1 n 10  

Tirando do módulo, o sinal negativo do - 10 some:

L = l i m n → ∞ ( n + 1 ) 10 10   n 10  

Passo 2

Se aplicarmos o limite, teremos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , vamos colocar n 10 em evidencia no numerador para evitarmos isso:

L = l i m n → ∞ n 1 + 1 n 10 10   n 10 = l i m n → ∞ n 10 1 + 1 n 10 10   n 10

Simplificando os n 10 :

L = l i m n → ∞ 1 + 1 n 10 10  

Passo 3

E aí sim aplicamos o limite, o termo 1 n tende para zero, e o que sobra é:

L = 1 10 10 = 1 10

Como nosso L < 1 , a série é absolutamente convergente, e por isso, é convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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