Enunciado

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n 2 n !  

Passo 1

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado, apesar de ser uma série alternada, possui um termo fatorial e constantes elevada a n -ésima potência. Neste caso, o Teste da Razão pode ser uma boa opção.

Passo 2

Através do enunciado, vemos que

a n = - 1 n π 2 n 2 n !

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 π 2 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) ! 1 - 1 n 2 n ! π 2 n  

Agora vamos reescrever esta equação de forma que podemos simplificá-la e expandir o termo fatorial:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n ( - 1 ) π 2 n + 2 2 n + 2 ! 1 - 1 n 2 n ! π 2 n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n ( - 1 ) π 2 n π 2 2 n + 2 ! 1 - 1 n 2 n ! π 2 n

lim n → ∞ ⁡ - 1 n ( - 1 ) π 2 n π 2 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n ) ! 1 - 1 n 2 n ! π 2 n

Em seguida, vamos cortar os termos iguais, obtendo

lim n → ∞ ⁡ ( - 1 ) π 2 2 n + 2 ( 2 n + 1 )

Colocando a constante | - 1 π 2 | para fora do limite, chegamos em

π 2 lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) = π 2 lim n → ∞ ⁡ 1 4 n 2 + 6 n + 2 = π 2 0 = 0

Logo,

L = 0 < 1

Neste caso, a série é absolutamente convergente.

Resposta

absolutamente convergente.

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