Enunciado

Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.

∂ f ∂ x - ∂ f ∂ y = 0

Passo 1

A questão pede para acharmos soluções da equação diferencial parcial dada:

∂ f ∂ x - ∂ f ∂ y = 0

A dica para resolver problemas assim é reescrever a equação como um produto escalar:

1 ,   - 1 ⋅ ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = 0

Ou ainda,

1 ,   - 1 ⋅ ∇ f = 0

Passo 2

Como o gradiente de f é perpendicular às curvas de nível para todo ( x , y ) no domínio de f e, neste caso, temos que o gradiente também é perpendicular ao vetor ( 1 , - 1 ) , temos que, em todos os pontos, o vetor ( 1 , - 1 ) é tangente às curvas de nível.

Desta forma, como o vetor tangente às curvas de nível é constante, essas curvas são retas cujo vetor diretor é ( 1 , - 1 ) .

Desta forma, temos que

f x , y = c ⇒ a x + b y = k

Como o vetor diretor é ( 1 , - 1 ) , o coeficiente angular dessas retas é

m = - 1 1 = - a b ⇒ b = a

Portanto,

a x + a y = k ⇒ x + y = k a

Passo 3

Temos então que as curvas de nível de f são retas paralelas cujas equações são

x + y - k a = 0

Assim, as soluções da equação diferencial parcial são funções de duas variáveis que assumem sempre o mesmo valor sobre as retas dadas pela equação acima, que é do tipo x + y = c o n s t a n t e . Portanto, a solução mais geral da equação diferencial é

f x , y = g x + y ,

onde g é uma função derivável de uma variável.

Resposta

f x , y = g x + y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 7-10, encontre ∇ f no ponto dado. f x ,y ,z = e x + y cos ⁡ z + y + 1 sen - 1 ⁡ x , 0 ,0 ,π / 6
Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto. g x ,y = x 2 2 - y 2 2 , 2 ,1
Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto. f x ,y = y - x , 2 ,1
Nos Exercícios 7-10, encontre ∇ f no ponto dado. f x ,y ,z = x 2 + y 2 - 2 z 2 + z ln ⁡ x , 1 ,1 ,1
Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto. f x ,y = ln ⁡ x 2 + y 2 , 1 ,1