Enunciado

Determine uma reta que seja tangente à elipse x 2 + x y + y 2 = 7 e paralela à reta 4 x + 5 y = 17 .

Passo 1

A questão pede a reta tangente à curva x 2 + x y + y 2 = 7 e que seja paralela à reta 4 x + 5 y = 17 .

Como a reta que queremos deve ser paralela à reta 4 x + 5 y = 17 , elas devem ter o mesmo coeficiente angular que será

m = - 4 5

Derivando implicitamente à curva:

2 x + y + x y ' + 2 y y ' = 0 ⇒ x + 2 y y ' = - 2 x - y ⇒ y ' = - 2 x + y x + 2 y

Passo 2

Queremos achar o ponto ( x 0 , y 0 ) de tangência na curva x 2 + x y + y 2 = 7 . Neste ponto, a derivada da curva deve ser igual a - 4 / 5 para que a reta tangente seja paralela à reta 4 x + 5 y = 17 . Assim:

- 2 x 0 + y 0 x 0 + 2 y 0 = - 4 5 ⇒ 10 x 0 + 5 y 0 = 4 x 0 + 8 y 0 ⇒ 6 x 0 = 3 y 0 ⇒ y 0 = 2 x 0

Substituindo isso na equação da curva:

x 0 2 + 2 x 0 2 + 4 x 0 2 = 7 ⇒ x 0 1 = 1 ⇒ x 0 = ± 1

Assim, os pontos de tangência serão - 1 , - 2 e ( 1,2 ) e a inclinação da reta será - 4 / 5 . Como temos dois pontos de tangência, teremos duas retas!

Passo 3

As retas serão dadas por

y - 1 = - 4 5 x - 2         e           y + 1 = - 4 5 ( x + 2 )

Assim, teremos

y = - 4 x 5 + 14 5         e           y = - 4 x 5 - 14 5

Resposta

y = - 4 x 5 + 14 5         e           y = - 4 x 5 - 14 5

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