Enunciado

Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada.

3 ∂ f ∂ x + 2 ∂ f ∂ y = 0

Passo 1

A questão pede para acharmos soluções da equação diferencial parcial dada:

3 ∂ f ∂ x + 2 ∂ f ∂ y = 0

A dica para resolver problemas assim é reescrever a equação como um produto escalar:

3 ,   2 ⋅ ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = 0

Ou ainda,

3 ,   2 ⋅ ∇ f = 0

Passo 2

Como o gradiente de f é perpendicular às curvas de nível para todo ( x , y ) no domínio de f e, neste caso, temos que o gradiente também é perpendicular ao vetor ( 3,2 ) , temos que, em todos os pontos, o vetor ( 3,2 ) é tangente às curvas de nível.

Desta forma, como o vetor tangente às curvas de nível é constante, essas curvas são retas cujo vetor diretor é ( 3,2 ) .

Desta forma, temos que

f x , y = c ⇒ a x + b y = k

Como o vetor diretor é ( 3,2 ) , o coeficiente angular dessas retas é

m = 2 3 = - a b ⇒ b = - 3 a 2

Portanto,

a x - 3 a 2 y = k ⇒ 2 x - 3 y 2 = k a ⇒ 2 x - 3 y = 2 k a

Passo 3

Temos então que as curvas de nível de f são retas paralelas cujas equações são

2 x - 3 y - 2 k a = 0

Assim, as soluções da equação diferencial parcial são funções de duas variáveis que assumem sempre o mesmo valor sobre as retas dadas pela equação acima, que é do tipo 2 x - 3 y = c o n s t a n t e . Portanto, a solução mais geral da equação diferencial é

f x , y = g 2 x - 3 y ,

onde g é uma função derivável de uma variável.

Resposta

f x , y = g 2 x - 3 y

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37. Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a propriedade fornecida. Suponha que u e v sejam funções de x e y diferenciáveis, e a e b sejma constantes. ∇ a u + b v =a ∇ u + b ∇
Se f x , y = x y , encontre o vetor gradiente ∇ f 3,2 e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível f x , y = 6 no ponto 3,2 . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente