6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

g )   ∫ 2 x 2 - 5 x + 6 d x

Passo 1

Podemos ver que a função na nossa integral não é parecida com a fórmula do exercício 5. Então, para melhorar vamos usar o conceito que diz que se α e   β são raízes da equação a x 2 + b x + c = 0 , então a x 2 + b x + c = a ( x - α ) ( x - β ) . Ou seja, descobrindo as raízes da equação no denominador, podemos fatorar o mesmo. Nesse caso, por meio de Bhaskara, obtemos as raízes x = 3 e x = 2 . Dessa forma,

∫ 2 x 2 - 5 x + 6 d x =   ∫ 2 ( x - 3 ) ( x - 2 ) d x

Passo 2

Como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A x - α + B x - β .

2 ( x - 3 ) ( x - 2 ) =   A x - 3 + B x - 2

Vamos fazer com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

2 ( x - 3 ) ( x - 2 ) =   A x - 3 ( x - 2 ) ( x - 2 ) + B x - 2 ( x - 3 ) ( x - 3 )

2 ( x - 3 ) ( x - 2 ) = A ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) + B ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo valor, então vamos multiplicar tudo por ( x - 3 ) ( x - 2 ) . Assim,

2 = A x - 2 + B x - 3

2 = x A - 2 A + x B - 3 B  

0 x + 2 = A + B x + ( - 2 A - 3 B )  

Sabendo que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 0 ,   pois 0 x = m x ; e, como o termo independente é 2 , n = 2 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = ( - 2 A - 3 B )   . Então, montando o sistema:

A + B = 0 ( - 2 A - 3 B ) = 2  

⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B   (1)

⇒ - 2 A - 3 B = 2 ⇒ 2 A = - 3 B - 2   ⇒ A =   - 3 B - 2 2   (2)

Igualando (1) e (2)

⇒ - 3 B - 2 2 =   - B   ⇒   - 3 B - 2 = - 2 B   ⇒ 3 B - 2 B = - 2   ⇒ B = - 2  

Colocando o valor de B em qualquer uma das equações, obtemos

A = 2

Logo,

2 x - 3 x - 2 =   A x - 3 + B x - 2

2 ( x - 3 ) ( x - 2 ) =   2 x - 3 - 2 x - 2

Passo 3

Substituindo na integral

∫ 2 ( x - 3 ) ( x - 2 ) d x =   ∫ 2 ( x - 3 ) - 2 ( x - 2 ) d x   =   ∫ 2 x - 3 d x - ∫ 2 x - 2 d x  

Para a primeira integral, fazendo u = x - 3   ⇒ d u = d x

∫ 2 x - 3 d x = 2 ∫ 1 x - 3 d x = 2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ u + k = 2 ln ⁡ x - 3 + k

Para a segunda integral, fazendo u = x - 2   ⇒ d u = d x  

∫ 2 x - 2 d x = 2 ∫ 1 x - 2 d x = 2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ u + k = 2 ln ⁡ x - 2 + k

Portanto,

∫ 2 x - 3 d x - ∫ 2 x - 2 d x   =   2 ln ⁡ x - 3 -   2 ln ⁡ x - 2 + k  

Resposta

Logo, a resposta dessa integral é

∫ 2 x 2 - 5 x + 6 d x =   2 ln ⁡ x - 3 -   2 ln ⁡ x - 2 + k  

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