6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

d )   ∫ 1 x 2 - 4 d x

Passo 1

Podemos ver que a função dentro da nossa integral não é parecida com a da fórmula do exercício 5. Então, para melhorar podemos ver que o denominador pode ser uma fatoração do tipo a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) . Logo,

∫ 1 x 2 - 4 d x =   ∫ 1 x 2 - 2 2 d x =   ∫ 1 ( x - 2 ) ( x + 2 ) d x

Passo 2

Agora, como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A x - α + B x - β .

1 ( x - 2 ) ( x + 2 ) =   A x - 2 + B x + 2

Vamos fazer com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

1 ( x - 2 ) ( x + 2 ) =   A x - 2 ( x + 2 ) ( x + 2 ) + B x + 2 ( x - 2 ) ( x - 2 )

1 ( x - 2 ) ( x + 2 ) = A ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) + B ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo valor, multiplicando tudo por ( x - 2 ) ( x + 2 ) . Assim,

1 = A x + 2 + B x - 2

1 = x A + 2 A + x B - 2 B  

0 x + 1 = A + B x + 2 ( A - B )  

Sabendo que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 0 , pois 0 = 0 x ; e, como o termo independente é 1 , n = 1 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = 2 ( A - B )   . Então, montando o sistema:

A + B = 0 2 A - B = 1  

⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B   (1)

⇒ 2 A - B = 1 ⇒ A - B = 1 2   ⇒ B = A - 1 2 (2)

Substituindo (2) em (1)

⇒ A = - B = -   A - 1 2 =   - A + 1 2   ⇒ A + A = 1 2 ⇒ 2 A = 1 2   ⇒ A = 1 4

Colocando o valor de A em qualquer uma das equações, obtemos

B = - 1 4

Logo,

1 x - 2 x + 2 =   A x - 2 + B x + 2

1 ( x - 2 ) ( x + 2 ) =   1 4 x - 2 + - 1 4 x + 2

1 ( x - 2 ) ( x + 2 ) =   1 4 ( x - 2 ) - 1 4 ( x + 2 )

Passo 3

Substituindo na integral

∫ 1 ( x - 2 ) ( x + 2 ) d x =   ∫ 1 4 x - 2 - 1 4 x + 2 d x   =   ∫ 1 4 x - 2 d x - ∫ 1 4 x + 2 d x  

Para a primeira integral, fazendo u = x - 2   ⇒ d u = d x  

∫ 1 4 x - 2 d x = 1 4 ∫ 1 x - 2 d x = 1 4 ∫ 1 u d u = 1 4 ln ⁡ u + k = 1 4 ln ⁡ x - 2 + k

Para a segunda integral, fazendo u = x + 2   ⇒ d u = d x

∫ 1 4 x + 2 d x = 1 4 ∫ 1 x + 2 d x = 1 4 ∫ 1 u d u = 1 4 ln ⁡ u + k = 1 4 ln ⁡ x + 2 + k

Portanto,

∫ 1 4 x - 2 d x - ∫ 1 4 x + 2 d x =   1 4 ln ⁡ x - 2 - 1 4 ln ⁡ x + 2 + k    

Resposta

Logo, a resposta dessa integral é

∫ 1 x 2 - 4 d x =   1 4 ln ⁡ x - 2 + 1 4 ln ⁡ x + 2 + k  

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