6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

h )   ∫ x - 3 x 2 + 3 x + 2 d x

Passo 1

Vemos que a função na nossa integral não é parecida com a fórmula do exercício 5. Logo, para melhorar vamos usar o conceito que diz que se α e   β são raízes da equação a x 2 + b x + c = 0 , então a x 2 + b x + c = a ( x - α ) ( x - β ) . Ou seja, descobrindo as raízes da equação no denominador, podemos fatorar o mesmo. Nesse caso, por meio de Bhaskara, obtemos as raízes x = - 1 e x = - 2 . Dessa forma,

∫ x - 3 x 2 + 3 x + 2 d x =   ∫ x - 3 ( x - - 1 ) ( x - ( - 2 ) ) d x =   ∫ x - 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) d x

Passo 2

Agora, como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A x - α + B x - β .

x - 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) =   A x + 1 + B x + 2

Faremos com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

x - 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) =   A x + 1 ( x + 2 ) ( x + 2 ) + B x + 2 ( x + 1 ) ( x + 1 )

x - 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = A ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) + B ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 )

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo valor, multiplicando tudo por ( x - 2 ) ( x - 1 ) . Assim,

x - 3 = A x + 2 + B x + 1

x - 3 = x A + 2 A + x B + B  

x - 3 = A + B x + ( 2 A + B )  

Sabendo que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 1 ,   pois x = 1 * x ; e, como o termo independente é - 3 , n = - 3 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = ( 2 A + B )   . Então, montando o sistema:

A + B = 1 2 A + B = - 3  

⇒ A + B = 1 ⇒ A = 1 - B   (1)

⇒ 2 A + B = - 3 ⇒ B =   - 3 - 2 A (2)

Substituindo (2) em (1)

⇒ A = 1 - B = 1 - - 3 - 2 A = 1 + 3 + 2 A = 4 + 2 A ⇒ 2 A - A = - 4 ⇒ A = - 4  

Colocando o valor de A em qualquer uma das equações, obtemos

B = 5

Logo,

x - 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) =   A x + 1 + B x + 2

x - 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) =   - 4 x + 1 + 5 x + 2

x - 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) =   - 4 x + 1 + 5 x + 2

Passo 3

Substituindo na integral

∫ x - 3 ( x + 1 ) ( x + 2 ) d x =   ∫ - 4 x + 1 + 5 x + 2 d x   = -   ∫ 4 x + 1 d x + ∫ 5 x + 2 d x  

Para a primeira integral, fazendo u = x + 1   ⇒ d u = d x  

∫ 4 x + 1 d x = 4 ∫ 1 x + 1 d x = 4 ∫ 1 u d u = 4 ln ⁡ u + k = 4 ln ⁡ x + 1 + k

Para a segunda integral, fazendo u = x + 2   ⇒ d u = d x

∫ 5 x + 2 d x = 5 ∫ 1 x + 2 d x = 5 ∫ 1 u d u = 5 ln ⁡ u + k = 5 ln ⁡ x + 2 + k

Portanto,

-   ∫ 4 x + 1 d x + ∫ 5 x + 2 d x =   - 4 ln ⁡ x + 1 + 5 ln ⁡ x + 2 + k  

Resposta

Logo, a resposta dessa integral é

∫ x - 3 x 2 + 3 x + 2 d x =   - 4 ln ⁡ x + 1 + 5 ln ⁡ x + 2 + k      

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