6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

c )   ∫ x x 2 - 4 d x

Passo 1

Podemos ver que a função dentro da nossa integral não é parecida com essa fórmula do exercício 5. Então, para melhorar podemos ver que o denominador é uma fatoração do tipo a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) . Logo,

∫ x x 2 - 4 d x =   ∫ x x 2 - 2 2 d x =   ∫ x ( x - 2 ) ( x + 2 ) d x

Passo 2

Agora, como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A x - α + B x - β .

x ( x - 2 ) ( x + 2 ) =   A x - 2 + B x + 2

Vamos fazer com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

x ( x - 2 ) ( x + 2 ) =   A x - 2 ( x + 2 ) ( x + 2 ) + B x + 2 ( x - 2 ) ( x - 2 )

x ( x - 2 ) ( x + 2 ) = A ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) + B ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo valor, multiplicando tudo por ( x - 2 ) ( x + 2 ) . Assim,

x = A x + 2 + B x - 2

x = x A + 2 A + x B - 2 B  

x = A + B x + 2 ( A - B )  

Lembrando que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 1 , pois x = 1 x , e, como não temos termo independente, n = 0 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = 2 ( A - B )   . Então, montando o sistema:

A + B = 1 2 A - B = 0  

⇒ A + B = 1 ⇒ A = 1 - B   (1)

⇒ 2 A - B = 0 ⇒ A - B = 0   ⇒ A = B (2)

Substituindo (2) em (1)

⇒ A = 1 - B = 1 - A ⇒ 2 A = 1 ⇒ A = 1 2  

Colocando o valor de A em qualquer uma das equações, obtemos

B = 1 2

Logo,

x x - 2 x + 2 =   A x - 2 + B x + 2

x ( x - 2 ) ( x + 2 ) =   1 2 x - 2 + 1 2 x + 2

x ( x - 2 ) ( x + 2 ) =   1 2 ( x - 2 ) + 1 2 ( x + 2 )

Passo 3

Substituindo na integral

∫ x ( x - 2 ) ( x + 2 ) d x =   ∫ 1 2 x - 2 + 1 2 x + 2 d x   =   ∫ 1 2 x - 2 d x + ∫ 1 2 x + 2 d x  

Para a primeira integral, fazendo u = x - 2   ⇒ d u = d x  

∫ 1 2 x - 2 d x = 1 2 ∫ 1 x - 2 d x = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + k = 1 2 ln ⁡ x - 2 + k

Para a segunda integral, fazendo u = x + 2   ⇒ d u = d x

∫ 1 2 x + 2 d x = 1 2 ∫ 1 x + 2 d x = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + k = 1 2 ln ⁡ x + 2 + k

Portanto,

∫ 1 2 x - 2 d x + ∫ 1 2 x + 2 d x =   1 2 ln ⁡ x - 2 + 1 2 ln ⁡ x + 2 + k    

Resposta

Logo, a resposta dessa integral é

∫ x x 2 - 4 d x =   1 2 ln ⁡ x - 2 + 1 2 ln ⁡ x + 2 + k  

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