Enunciado

Utilizando o exercício 2, estude a convergência ou a divergência de cada uma das integrais a seguir.

∫ 2 ∞ x 6 - x + 1 x 7 - 2 x 2 + 3   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral imprópria converge ou diverge usando o resultado do exercício 2. Este resultado basicamente diz que se quisermos estudar a convergência de uma integral do tipo

∫ a ∞ f x   d x

em que f pode ser escrita como

f x = 1 x α   g x ,

com

lim x → ∞ ⁡ g x = L > 0 ,

segue que se α > 1 , a integral de f converge. Caso contrário, ela diverge. Esse critério é bem prático pois fugimos de qualquer comparação ou integral: basta fazer um limite!

Neste caso, temos

f x = x 6 - x + 1 x 7 - 2 x 2 + 3 = x 6 x 7 ⋅ 1 - 1 x 5 + 1 x 6 1 - 2 x 5 + 3 x 7 = 1 x ⋅ 1 - 1 x 5 + 1 x 6 1 - 2 x 5 + 3 x 7

Passo 2

Assim, vemos que α = 1 e

g x = 1 - 1 x 5 + 1 x 6 1 - 2 x 5 + 3 x 7

Note que

lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = 1 - 0 + 0 1 - 0 + 0 = 1 > 0

Portanto, todas as condições do exercício 2 estão sendo satisfeitas. Como α = 1 (e não maior que 1 ), vemos a integral é divergente!

Resposta

Diverge.

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Suponha f não-limitada em [ a , b [ e integrável em [ a , t ] para atb . Defina ∫ a b f xd x
Calcule ∫ 0 1 x 1 - x 2d x
Calcule ∫ - 1 2 1 4 - x 2d x
Suponha f não-limitada e contínua nos intervalos [ a , c [ e ] c , b ] . Defina ∫ a b f x d x .
Suponha f contínua em ] a , b [ e não-limitada em ] a , c ] e [ c , b [ . Defina ∫ a b f x d x .