Enunciado

Um fio delgado, pela ação da gravidade, assume a forma da catenária y = a cosh ⁡ x a . Demonstrar que para valores pequenos de | x | , a forma que o fio toma pode ser representada, aproximadamente, pela parábola y = a + x 2 2 a .

Passo 1

Cara, se ele falou em aproximação, ele só pode estar falando do polinômio de Taylor, que serve exatamente pra aproximar valores de funções! O polinômio de Taylor de ordem n no ponto c é obtido assim:

P n x = f c + f ' c x - c + f ' ' c 2 ! x - c 2 + … + f n c n ! x - c n

A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá! A gente vai calcular a aproximação até o quarto grau, só pra termos uma idéia boa do que tá acontecendo.

Passo 2

Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Só não pode esquecer da regra da cadeia, ok? Vamos até a derivada de grau 4 , já que queremos o Taylor dessa ordem.

f x = a cosh ⁡ x a

f ' x = s e n h x a

f 2 ' x 2 ! = 1 2 × 1 a cosh ⁡ x a

f 3 ' x 3 ! = 1 6 × 1 a 2 s e n h x a

f 4 ' x 4 ! = 1 24 × 1 a 3 cosh ⁡ x a

Então o polinômio de Taylor vai ser:

P 4 x = a cosh ⁡ c a + s e n h c a x - c + 1 2 a cosh ⁡ c a x - c 2 + 1 6 a 2 s e n h c a x - c 3 + 1 24 a 3 cosh ⁡ c a x - c 4

Passo 3

No ponto c = 0 , cosh ⁡ 0 = 1 e s e n h 0 = 0 .

P 4 x = a cosh ⁡ 0 a + s e n h 0 a x + 1 2 a cosh ⁡ 0 a x 2 + 1 6 a 2 s e n h 0 a x 3 + 1 24 a 3 cosh ⁡ 0 a x 4

Arrumando,

P 4 x = a + 1 2 a x 2 + 1 24 a 3 x 4

Agora o pulo do gato é entender o seguinte: como x é muito pequeno, x 4 (e todas as potências seguintes que fossem aparecer) vão ser desprezíveis perto de x 2 , sacou? Por isso, a gente pode tirar todas as parcelas que vêm depois do x 2 ! Assim, a forma do fio seria descrita por:

y = a + x 2 2 a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. f x = cos ⁡ 0,2
Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. sen ⁡ 0,1
Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. f x = e x
Calcule um valor aproximado e avalie o erro. e 0,001
Calcule um valor aproximado e avalie o erro. 4,001