Enunciado

Pesquisar máximos e mínimos das seguintes funções:

f x = x - 4 10

Passo 1

Vamos começar encontrando os pontos críticos da função. Pra isso, vamos derivá-la e igualar a 0 . Os valores de x que atenderem essa equação são os pontos candidatos a serem máximos ou mínimos.

A nossa função é:

f x = x - 4 10

Derivando,

f ' x = 10 x - 4 9

Igualando a zero,

10 x - 4 9 = 0

x = 4

Esse é o nosso único ponto crítico!

Passo 2

Agora vamos investigar se ele é ponto de máximo ou ponto de mínimo. Vamos calcular as próximas derivadas nesse ponto x = 4 , até que uma delas dê diferente de 0 .

f 2 ' x = ( 10 ) ( 9 ) x - 4 8

f 3 ' x = 10 9 8 x - 4 7

f 4 ' x = 10 9 8 7 x - 4 6

Continuando o processo, vamos chegar em:

f 9 ' x = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 x - 4 1

Todas essas dão 0 quando a gente substituir o x por 4 .

Derivando mais uma vez:

f 10 ' x = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 10 !

Pra qualquer x que a gente botar ali o valor dessa derivada vai ser positivo. Como a ordem dela é par ( 10 ) , esse ponto é um ponto de mínimo, e é o único, já que é o único ponto crítico.

Resposta

x = 4 é ponto de mínimo.

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