Enunciado

Utilize coordenadas cilíndricas.

  1. Ache o volume da região E limitada pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 36 - 3 x 2 - 3 y 2 .
  2. Encontre o centroide do E (centro de massa no caso em que a densidade é constante).

Passo 1

  1. Os paraboloides se intersectam em:
  2. x 2 + y 2 = 36 - 3 x 2 - 3 y 2 → x 2 + y 2 = 9

    Temos então que a região de integração é:

    D = x , y | x 2 + y 2 ≤ 9

    E a região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:

    E = r , θ , z |   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ r ≤ 3 , r 2 ≤ z ≤ 36 - 3 r 2

    Passo 2

    Vamos calcular a integral:

    V = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ r 2 36 - 3 r 2 r d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r z r 2 36 - 3 r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 36 r - 4 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π   d θ ∫ 0 3 36 r - 4 r 3 d r = θ 0 2 π 18 r 2 - r 4 0 3 = 2 π ∙ 81 = 16 2 π

    Passo 3

  3. Para a densidade constante K , temos m = K V = 162 π K pela letra (a), e como a região é homogênea e simétrica temos:

M y z = M x z = 0

M x y = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ r 2 36 - 3 r 2 z K r d z d r d θ = K ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r z 2 2 r 2 36 - 3 r 2 d r d θ = K 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 36 r - 4 r 2 2 - r 4 d r d θ = K 2 ∫ 0 2 π   d θ ∫ 0 3 8 r 5 - 216 r 3 + 1296 r   d r = K 2 θ 0 2 π 8 6 r 6 - 216 4 r 4 + 1296 2 r 2 0 3 = π K 2430 = 2430 π K

Temos então:

x , - y , - z - = M y z m , M x z m , M x y m = 0,0 , 2430 π K 162 π K  

Resposta

  1. V = 16 2 π
  2. x , - y , - z - = 0,0 , 2430 π K 162 π K  
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