Enunciado

Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.

  1. ( 2 , 3 π / 4,2 )
  2. ( 1,1 , 1 )

Passo 1

Primeiramente, vamos utilizar softwares para poder esboçar os pontos no espaço.

Já para fazermos a mudança do sistema de cilíndricas para retangulares, precisamos resolver o seguinte sistema:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Passo 2

Vamos começar esboçando o ponto. Portanto,

Em vermelho temos o eixo x , em verde o y e o eixo z em azul.

Passo 3

Vamos resolver o nosso sistema agora. Portanto,

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

x = 2 ⋅ cos ⁡ 3 π 4 = - 1 y = 2 ⋅ sen ⁡ 3 π 4 = 1 z = 2

Portanto, temos o ponto:

- 1,1 , 2

Resposta

- 1,1 , 2

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∫ - 1 1 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ 4 rd rd θd z
∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 1 2 - r 2 3d zrd rd θ
∫ 0 π ∫ 0 θ π ∫ - 4 - r 2 3 4 - r 2zd zrd rd θ
∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 2 π ( r 2 cos 2 ⁡ θ + z 2 )rd θd rd z
∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ r 2 3 18 - r 2 d zrd rd θ