Enunciado

Utilize coordenadas cilíndricas.

Determine a massa da bola B dada por x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância do eixo z .

Passo 1

Já que a densidade é proporcional a distância do eixo z , nós podemos dizer que:

ρ x , y , z = k x 2 + y 2

Onde k é a constante de proporcionalidade.

Temos que a massa é:

m = ∭ B ρ x , y , z d V = ∭ B k x 2 + y 2 d V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - r 2 k r   r d z d r d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - r 2 k r 2 d z d r d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a k r 2 z 0 a 2 - r 2 d r d θ = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a k r 2 a 2 - r 2   d r d θ = 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a k r 2 a 2 - r 2   d r = 4 π k ∫ 0 a r 2 a 2 - r 2   d r

Passo 2

Para calcular essa integral vamos usar substituição trigonométrica:

r = a sen ⁡ u

d r = a cos ⁡ u d u

Substituindo:

m = 4 π k ∫ 0 a r 2 a 2 - r 2   d r = 4 π k ∫ 0 π 2 a 2 sen 2 ⁡ u a 2 - a 2 sen 2 ⁡ u a cos ⁡ u d u = 4 π k ∫ 0 π 2 a 2 sen 2 ⁡ u a 2 1 - sen 2 ⁡ u a cos ⁡ u d u = 4 π k ∫ 0 π 2 a 2 sen 2 ⁡ u a 2 cos 2 ⁡ u a cos ⁡ u d u = 4 π k a 4 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ u cos 2 ⁡ u d u = π k a 4 ∫ 0 π 2 4 sen 2 ⁡ u cos 2 ⁡ u d u = π k a 4 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ 2 u d u = π k a 4 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 u 2 d u = π k a 4 2 u - 1 4 sen ⁡ 4 u 0 π 2 = π 2 - 1 4 sen ⁡ 4 . π 2 - 0 - 1 4 sen ⁡ 4.0 = π k a 4 2 ∙ π 2 = π 2 k a 4 4

Resposta

m = π 2 k a 4 4

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