Enunciado

O sólido delimitado abaixo pelo plano xy, dos lados pela esfera

r = 2 e acima pelo cone f = p/3

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício faremos:a. Encontraremos os limites em coordenadas esféricas para a integral que estima o volume do sólido dado, eb. Resolveremos a integral. O sólido delimitado abaixo pelo planoxy, nos lados pela esfera ρ = 2 , e acima pelo cone ϕ = π 3 .

Passo 2

a. O volume referente ao sólido pedido é:

V = ∫ 0 2 π   ∫ π / 3 π / 2   ∫ 0 2   ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 3

b. Resolveremos então a integral para encontrarmos o volume do sólido:

V = ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 π / 2     ∫ 0 2     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ V = 8 3 ∫ 0 2 π     ∫ π / 3 π / 2     s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ V = 8 3 ∫ 0 2 π     [ - c o s ⁡ ϕ ] π / 3 π / 2 d θ V = 4 3 ∫ 0 2 π     d θ V = 8 π 3

Resposta

Resposta: o volume é V = 8 π 3 .

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Faça com que H seja um hemisfério sólido de raio a cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do seu centro da base.
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 1 ≤ ρ ≤ 2 ,0 ≤ ϕ ≤ π 2 ,π 2 ≤ θ ≤ 3 π 2
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 z x 2 + y 2 + z 2 d z d y d x
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas ∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 ∫ x 2 + y 2 18 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y