Enunciado

Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

E calcule a integral.

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, vamos entender o que tá acontecendo aqui nessa questão e o que ela deseja da gente. De forma análoga à questão anterior, para essa questão nós já temos a integral de forma iterada e vamos precisar descrever a região dada pela mesma. Pois bem, se observarmos bem a integral está em coordenadas esféricas e poderemos escrevê-la da seguinte forma alternativa

ρ , θ , ϕ |   1 ≤ ρ ≤ 2 ,   0 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π 2  

Essa região está compreendida entre as esferas ρ = 1   e   ρ = 2 , no primeiro octante. Feita essa primeira parte, agora só nos resta calcular quanto dará essa integral e para isso podemos proceder de forma padrão resolvendo ‘de dentro pra fora’ cada integral separadamente e considerando o que tiver da outra variável como constante.

Passo 2

Dessa forma, teremos o seguinte

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕ   d ρ = ρ 3 3 ⋅ s e n ϕ 1 2 = 2 3 ⋅ s e n ϕ 3 - s e n ϕ 3 = 7 3 ⋅ s e n ϕ

Ficamos, então, com a seguinte integral dupla

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 7 3 ⋅ s e n ϕ   d ϕ   d θ

Procedendo de igual maneira, agora, para a integral que é mais interna teremos

∫ 0 π 2 7 3 ⋅ s e n ϕ   d ϕ = 7 3 ⋅ - cos ⁡ ϕ 0 π 2 = - 7 3

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 π 2 -   7 3   d θ = - 7 3 ⋅ θ 0 π 2 = - 7 π 6

Pronto, tá resolvido nosso exercício. Até não foi tão complicado, né?

Resposta

- 7 π 6

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As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. ∫ 0 2
As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. ∫ π 6
Calcule as integrais em coordenadas esféricas: ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ sec ⁡ ϕ 2 3 ρ 2s e n ϕd ρ d ϕ d θ
As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. ∫ 0 1