Calcule

  1. ∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x >= 0 , x^2 + y^2 + z^2 <= 4 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla usando uma transformação para coordenadas esféricas e calcular o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e precisamos nos atentar ao fato de que x ≥ 0 , ou seja, nossa esfera será meia esfera apenas. Aplicando a transformação para coordenadas esféricas, temos que

x = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ

z = ρ ⋅ cos ⁡ ϕ

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y ⋅ d z = ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ d ρ ⋅ d θ ⋅ d ϕ . Os novos intervalos de integração serão

0 ≤ ρ ≤ 2

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π

Para θ temos esse intervalo especifico por causa que teremos apenas sua metade positiva. Substituindo na integral, ficamos com

∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z   = ∫ 0 π ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ θ ⋅ ρ 2 ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ d ρ ⋅ d θ ⋅ d ϕ =

= ∫ 0 π sin 2 ⁡ ϕ ⋅ d ϕ ⋅ ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ ⋅ d θ ⋅ ∫ 0 2 ρ 3 ⋅ d ρ = 4 ⋅ π

Resposta

∫ ∫ ∫ B x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 4 ⋅ π

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