Enunciado

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E x y z d V , onde E está entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone ϕ = π 3 .

Passo 1

Vamos lembrar a forma das coordenadas esféricas:

∭ E f x , y , z d V = ∫ c d ∫ α β ∫ a b f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Onde E é uma cunha esférica dada por:

E = ρ , θ , ϕ | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ                 y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ                 z = ρ cos ⁡ ϕ

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Temos então que:

2 ≤ ρ ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π 3

Pronto, agora é só substituir:

∭ E x y z d V = ∫ 0 π 3 ∫ 0 2 π ∫ 2 4 ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 3 ∫ 0 2 π ∫ 2 4 cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ ρ 5 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π 3 sen 3 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 2 π cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ ∫ 2 4 ρ 5 d ρ

Passo 3

Vamos resolver as três separadamente:

Com a primeira vamos fazer uma Substituição.

u = sen ⁡ ϕ

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = cos ⁡ ϕ d ϕ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 0 π 3 sen 3 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = ∫ 0 π 3 u 3 d u = u 4 4 0 3 2 = 3 2 4 4 - 0 4 4 = 9 64

Passo 4

Com a segunda vamos fazer uma Substituição também:

u = sen ⁡ θ

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = cos ⁡ θ d θ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 0 2 π cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = ∫ 0 0 u d u = 0

E por ultimo com a terceira:

∫ 2 4 ρ 5 d ρ = ρ 6 6 2 4 = 4 6 6 - 2 6 6 = 672

Passo 5

Pronto, agora é só juntar:

∭ E x y z d V = ∫ 0 π 3 sen 3 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 2 π cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ ∫ 2 4 ρ 5 d ρ = 9 64 . 0.672 = 0

Resposta

∭ E x y z d V = 0

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