Enunciado

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 d z d y d x

Passo 1

Vamos primeiro converter para os limites em z:

z = 9 - x 2 - y 2 → z = 9 - r 2 → . . . 0 ≤ z ≤ 9 - r 2

E então, temos:

- 3 ≤ x ≤ 3 e y 2 = 9 - x 2 → y 2 + x 2 = 9

Com y ≥ 0 , e então concluímos que 0 ≤ r ≤ 3 .

Como y é positivo, só temos metade do círculo, então 0 ≤ θ ≤ π

Com isso, podemos definir a integral cilíndrica tripla como

∫ 0 π ∫ 0 3 ∫ 0 9 - r 2 ( r × r ) d z d r d θ

Lembrando que x 2 + y 2 = r

Daí, resolvendo, chegamos em 162 π 5

Resposta

162 π 5

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Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas ∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 ∫ x 2 + y 2 18 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y
Determine o volume contido pelo toro ρ = sen ⁡ ϕ .Utilize um computador para desenhar o toro.
Utilize as coordenadas esféricas.Calcule ∭ H x 2 + y 2 d V , onde H é a região hemisférica que está acima do plano x y e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .
Utilize as coordenadas esféricas.Calcule ∭ B x 2 + y 2 + z 2 d V , onde B é a bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .
Determine o volume do sólido que está acima do cone ϕ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ⁡ ϕ .