Enunciado

Utilize coordenadas esféricas.

Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , acima do plano x y e abaixo do cone z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Queremos o volume do sólido descrito, que será dado por

V = ∭ D d V = ∭ D ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d θ   d ϕ

Como estamos interessados na região dentro da esfera de raio 2 , teremos 0 ≤ ρ ≤ 2 . Além disso, como devemos estar acima do plano x y , isto é, z ≥ 0 , o ângulo azimutal deve inferior a π / 2 : 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 . Por fim, devemos saber as restrições devido ao cone.

Devemos ter z ≤ x 2 + y 2 . Passando para coordenadas cilíndricas:

ρ cos ⁡ ϕ ≤ ρ 2   s e n 2   ϕ ⇒ s e n   ϕ cos ⁡ ϕ ≥ 1 ⇒ t g   ϕ ≥ 1

Assim, o intervalo de variação do ângulo azimutal será na verdade π 4 ≤ ϕ ≤ π 2 . Portanto,

V = ∫ 0 2 d ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ π / 4 π / 2 ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Passo 2

Fazendo a integral em ϕ :

V = ∫ 0 2 ρ 2   d ρ ∫ 0 2 π d θ   - cos ⁡ ϕ π 4 π 2 = 2 π ⋅ 2 2 ⋅ ∫ 0 2 ρ 2   d ρ

Portanto,

V = π 2 ⋅ 2 3 3 = 8 2 π 3

Resposta

8 2 π 3

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