Enunciado

Mude de coordenadas retangulares para esféricas.

(a) 1 , 3 , 2 3

(b) 0 , - 1 , - 1

Passo 1

Show de bola, galera....Pra resolver essa questão não tem mistério.

Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas esféricas para correlacionarmos com os pontos em coordenadas retangulares equivalentes.

As relações entre coordenadas esféricas ρ , ϕ , θ e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

De maneira inversa, temos que:

ρ = x 2 + y 2 + z 2 cos ⁡ ϕ = z ρ cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ

Desta forma fica fácil, né? Os nossos pontos ficam da seguinte forma:

(a) 1 , 3 , 2 3

ρ = x 2 + y 2 + z 2 = 1 + 3 + 12 = 4

cos ⁡ ϕ = z ρ = 3 2 → ∴ ϕ = π 6

cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ = 1 4 sen ⁡ π 6 = 1 2 → ∴ θ = π 3

1 , 3 , 2 3 ↔ 4 , π 6 , π 3

(b) 0 , - 1 , - 1

ρ = x 2 + y 2 + z 2 = 0 + 1 + 1 = 2

cos ⁡ ϕ = z ρ = - 1 2 → ∴ ϕ = 3 π 4

cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ = 0 → ∴ θ = 3 π 2 ⏟ p o i s   y = - 1 < 0

1 , 3 , 2 3 ↔ 2 , 3 π 2 , 3 π 4

Resposta

(a) 1 , 3 , 2 3 ↔ 4 , π 6 , π 3

(b) 1 , 3 , 2 3 ↔ 2 , 3 π 4 , 3 π 2

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 2 ≤ ρ ≤ 4 ,0 ≤ ϕ ≤ π 3 ,0 ≤ θ ≤ π
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 ,π / 2 ,π / 2 ) ( 4 , -π / 4 ,π / 3 )
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( x e x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde E é a porção da bola unitáriax 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ - 2 2 ∫ - 4 2 - y 2 4 2 - y 2 ∫ - 4 2 - y 2 - x 2 4 2 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 d z d x d y
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( x 2 + y 2 ) d V , onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 ;