Enunciado

Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0,0 .]

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2

Passo 1

Show de bola, galera. Nosso primeiro passo será lembrar a substituição que fazemos para trabalhar com coordenadas polares:

x = r ∙ cos ⁡ θ y = r ∙ sen ⁡ θ

Em seguida, aproveitando a dica no enunciado de que r → 0 + quando x , y → 0,0 , vamos reescrever o limite do enunciado da seguinte forma:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 → ∴ lim r → 0 + ⁡ e - r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ) ⏞ = 1 - 1 r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ) ⏟ = 1

Passo 2

Resolvendo o limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 = lim r → 0 + ⁡ e - r 2 - 1 r 2 →     L ' H o p i t a l     lim r → 0 + ⁡ e - r 2 - 2 r 2 r = lim r → 0 + ⁡ - e - r 2 = - 1

Resposta

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 = - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize uma tabela de valores numéricos de f x ,y para x ,y perto da origem para conjecturar sobre o limite de f x ,y quando x ,y → 0 ,0 . Em seguida, explique por que sua conjectura está correta. f x
Calcule lim t → 0 ⁡ F → ( t ) onde F → t = tg ⁡ 3 t t , e 2 t - 1 t , t 3
Calcule lim t → 1 ⁡ F → ( t ) onde F → t = t - 1 t - 1 , t 2 , t - 1 t
Calcule lim t → 2 ⁡ r → ( t ) onde r → t = t 3 - 8 t 2 - 4i → + cos ⁡ π t t - 2j → + 2 tk →
Sejam F → = F 1 , F 2 , … , F n ,G → = G 1 , G 2 , … , G n duas funções de uma variável real a valores em R n e f uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que lim t → t 0 ⁡ F → = a → ,