Enunciado

Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0,0 .]

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

Show de bola, galera. Nosso primeiro passo será lembrar a substituição que fazemos para trabalhar com coordenadas polares:

x = r ∙ cos ⁡ θ y = r ∙ sen ⁡ θ

Em seguida, aproveitando a dica no enunciado de que r → 0 + quando x , y → 0,0 , vamos reescrever o limite do enunciado da seguinte forma:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 → ∴ lim r → 0 + ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ln ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1

Passo 2

Resolvendo o limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = lim r → 0 + ⁡ r 2 ln ⁡ r 2 = lim r → 0 + ⁡ ln ⁡ r 2 1 r 2 →     L ' H o p i t a l     lim r → 0 + ⁡ 2 r r 2 - 2 r 3

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = lim r → 0 + ⁡ 2 r r 2 - 2 r 3 = lim r → 0 + ⁡ - r 2 = 0

Resposta

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0,0 .] lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ e - x 2 - y 2 -
Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0 , 0 .] lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 x 2
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.(b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitu
Utilize uma tabela de valores numéricos de f x ,y para x ,y perto da origem para conjecturar sobre o limite de f x ,y quando x ,y → 0 ,0 . Em seguida, explique por que sua conjectura está correta. f x