Enunciado

  1. Utilize a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob a curva y = x ³ de 0 a 1 como um limite.
  2. A fórmula a seguir para a soma dos cubos dos primeiros n inteiros está demonstrada no Apêndice E. Use-a para calcular o limite da parte (a).

1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = n n + 1 2 2

Passo 1

Eaee! Bora pra mais uma questão?!

Bom... Aqui a gente precisa achar uma expressão para a área sob a curva y = x ³ com x de 0 a 1 como um limite, usando a Definição 2.

A Definição 2, que diz que: A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

A = lim n → ∞ ⁡ [ f ( x 1 ) ∆ x + f x 2 ∆ x + … + f ( x n ) ∆ x ]

Vamos ver o esboço dessa curva pra ficar mais palpável:

Em outras palavras é como se a gente dividisse a área abaixo dessa curva com retangulinhos infinitos com a espessura muito pequeninha, que tende a 0 .

Bora aplicar?? 😉

Passo 2

Com a função dada podemos achar o seguinte delta:

∆ x = ( 1 - 0 ) n = 1 n

Como estamos saindo da origem, nosso x i é dado por:

x i = 0 + i ∆ x

Dessa forma:

x i = i 1 n = i n

Usando a definição:

A = l i m n → ∞ R n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i n 3 1 n  

Simplificando:

A = lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ i = 1 n i 3   ∴

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i n 3 1 n  

Passo 3

Na letra (b) o enunciado pede pra a gente calcular o limite que achamos em a , usando a seguinte fórmula:

1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = n n + 1 2 2

Onde n é um número inteiro. Da letra (a) temos:

A = lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ i = 1 n i 3  

Temos que:

∑ i = 1 n i 3   = n n + 1 2 2

Então:

A = lim n → ∞ ⁡ 1 n 4 n n + 1 2 2

Vamos simplificar pra calcular o limite:

A = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 1 4 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 4 + 1 2 n + 1 4 n 2

Temos então:

A = 1 4

Prontinho! 😉

Resposta

  1. A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i n 3 1 n  
  2. 1 4
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