Enunciado

Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.

f x = sen 2 ⁡ x [Sugestão: Use sen 2 ⁡ x = 1 2 1 - cos ⁡ 2 x ]

Passo 1

Temos que

f x = sen 2 ⁡ x = 1 2 1 - cos ⁡ 2 x

Podemos tirar da tabela que

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Então para encontrar a série de cos ⁡ 2 x , vamos substituir na série x por 2 x , então

cos ⁡ 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n 2 n !

Substituindo na função

f x = 1 2 1 - cos ⁡ 2 x = 1 2 1 - ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n 2 n !

Se substituirmos n = 0 na série temos que o primeiro termo é 1 , podemos cancelar com o 1 de fora fazendo a serie começar em n = 1 , já que cancelamos o termo com n = 0

= - 1 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n 2 n !

Podemos ainda colocar o menos e o 2 - 1 para somar nos expoentes da série

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 2 n - 1 x 2 n 2 n !

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 2 n - 1 x 2 n 2 n !

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