Enunciado

Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico.

f x , y = x 4 - 5 x 2 + y 2 + 3 x + 2

Passo 1

Show de bola, galera....Vamos às contas...

Basicamente precisaremos calcular os seguintes valores: f x , f y , f x x , f x y   e   f y y . E aí, meus amigos, não tem mistério! Depois precisaremos calcular os pontos críticos da função ao fazer f x = 0   e   f y = 0 . Na sequência, usaremos o Teste da Derivada Segunda ao calcularmos D = f x x f x y f y x f y y e avaliarmos o seu sinal juntamente com o sinal de f x x .

Vamos lá?

Passo 2

Calculemos os pontos críticos de f ( x , y ) da seguinte forma:

∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0   ∴   4 x 3 - 10 x + 3 = 0 2 y = 0   ∴   x = - 1.71 4 0.312 1.402 ⏞ M é t o d o   d e   N e w t o n y = 0 ⇒ P o n t o s   c r í t i c o s - 1.71 4 ,   0 0.312 ,   0 1.402 ,   0

Passo 3

Calculemos o sinal de D = f x x f x y f y x f y y = 12 x 2 - 10 0 0 2 e de f x x para os respectivos pontos críticos:

– Para x c , y c = - 1 . 714 ,   0 :

D = 12 x 2 - 10 0 0 2 - 1.71 4 ,   0 = 25.25 0 0 2 = 50.50 > 0

f x x - 1.71 4 ,   0 = 25.25 > 0

Como D > 0 e f x x > 0 , concluímos que x c , y c = - 1.71 4 ,   0  é um ponto de mínimo local .

– Para x c , y c = 0 . 312 ,   0 :

D = 12 x 2 - 10 0 0 2 0.312 ,   0 = - 8 . 83 0 0 2 = - 17.66 > 0

Como D < 0 , concluímos que x c , y c = 0.312 ,   0  é um ponto de  sela .

– Para x c , y c = 1 . 402 ,   0 :

D = 12 x 2 - 10 0 0 2 1.402 ,   0 = 13.58 0 0 2 = 27.16 > 0

f x x 1.402 ,   0 = 13.58 > 0

Como D > 0 e f x x > 0 , concluímos que x c , y c = 1.402 ,   0  é um ponto de mínimo local .

Passo 4

Show de bola, galera. Agora nós iremos apresentar o gráfico da função, só pra ver se o que calculamos está coerente.

Resposta

- 1.71 4 ,   0   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l 0.312 ,   0   é   u m   p o n t o   d e   s e l a 1.402 ,   0   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

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8. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no coputador, trace a função com um domínio e um ponto de vi
30. Determine a menor distância entre o ponto ( 2,1 , - 1 ) e o plano x + y - z = 1 .