Calcule a integral dupla.

∬ R   cos ⁡ ( x + 2 y )   d A   ,                     R = x ,   y   0 ≤ x ≤ π   ,   0 ≤ y ≤ π / 2 }  

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na forma seguinte:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π cos ⁡ ( x + 2 y ) d x   d y

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π cos ⁡ x + 2 y d x d y = ∫ 0 π 2 s e n x + 2 y 0 π   d y = ∫ 0 π 2 s e n π + 2 y - s e n 2 y   d y

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ 0 π 2 s e n π + 2 y - s e n 2 y   d y = - cos ⁡ π + 2 y 2 + cos ⁡ 2 y 2 0 π 2 = 1 2 - cos ⁡ 2 π + cos ⁡ π + cos ⁡ π - cos ⁡ 0 = 1 2 - 1 - 1 - 1 - 1 = - 2

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Resposta

- 2

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