Enunciado

Use o Teorema 10 para mostrar que a curvatura da curva plana parametrizada x = f t , y = g ( t ) , é

κ = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 / 2  

Passo 1

O teorema 10 diz que

κ t = r ' t × r ' ' t r ' t 3

Para usá-lo, vamos ter que nossa r t = ( x , y , 0 ) , x e y , foram dados no enunciado e como é uma curva no plano, sua altura é sempre 0 .

As derivadas de funções vetoriais, são cada coordenada derivada, então

r ' t = ( x ˙ , y ˙ , 0 )

r ' t = ( x ¨ , y ¨ , 0 )

Passo 2

Calculando o produto vetorial r ' t × r ' ' t

r ' t × r ' ' t = i j k x ˙ y ˙ 0 x ¨ y ¨ 0 = ( 0,0 , x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ )

E seu módulo

r ' t × r ' ' t = 0 2 + 0 2 + x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ 2 = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ 2 =

r ' t × r ' ' t = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨

E o módulo de r ' ( t )

r ' t = x ˙ 2 + y ˙ 2 + 0 2 = x ˙ 2 + y ˙ 2

Passo 3

Substituindo na equação do teorema

κ t = r ' t × r ' ' t r ' t 3

κ t = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3

κ t = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 / 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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