Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 28
(a) Uma broca cilíndrica de raio é usada para fazer um furo que passa pelo centro de uma esfera de raio . Determine o volume do sólido em formato de anel resultante.
(b) Expresse o volume da parte (a) em termos da altura do anel. Observe que o volume depende somente de e não de ou .
Passo 1
(a) Pessoal, pra calcular o volume desse sólido, temos que escrever uma integral dupla que o represente. A região em forma de anel é dada por , ou seja, , e portanto, a integral será:
Podemos separar a integral no produto de duas integrais simples:
Passo 2
(b) Show! Agora que já descobrimos a expressão do volume em termos de e , dê uma olhada na figura seguinte pra relacionarmos isso com a altura do anel:
Então, temos:
Logo, podemos reescrever o volume assim:
Realmente, o volume só depende de , não de ou !
Resposta
(a)
(b)
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