(a) Uma broca cilíndrica de raio r 1 é usada para fazer um furo que passa pelo centro de uma esfera de raio r 2 . Determine o volume do sólido em formato de anel resultante.

(b) Expresse o volume da parte (a) em termos da altura h do anel. Observe que o volume depende somente de h e não de r 1 ou r 2 .

Passo 1

Fala, galera! Tudo na paz?

A questão pede pra gente responder encontrar o volume do sólido do anel formado pela esfera que recebeu um furo. Como estamos lidando com regiões circulares, fica mais fácil trabalharmos com coordenadas polares.

O Volume do sólido é dado por:

V = ∬ D f x , y   d A

Mas aqui no nosso caso, como temos coordenadas polares, vamos achar nossa equação e nossos limites de integração em relação a r e a θ . Então aqui teremos:

d A = r   d r   d θ

Então para a parte a) vamos ter que achar a equação que descrever a forma de anel e seus limites de integração, assim a gente calcula a integral e obtém o volume da forma.

Aqui como um anel são dois círculos de mesmo centro, com um raio interno r 1 e um externo r 2 , podemos escrever nossa equação como:

r 1 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ r 2 2

Para a parte b ) nós vamos reescrever a função o volume que achamos na parte a) em termos da altura h do anel.

Vamo lá!

Passo 2

Pessoal, pra calcular o volume desse sólido, temos que escrever uma integral dupla que o represente. Quando temos dois círculos concêntricos, a região em forma de anel é dada por:

r 1 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ r 2 2

ou seja

r 1 ≤ r ≤ r 2

Como estamos falando de um círculo completo, a variação de θ é:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Aqui, vamos considerar só a parte positiva do sólido (acima do eixo x y ), por isso temos que multiplicar nosso volume por 2, pois assim vamos considerar o sólido todo e não só metade.

Para achar nosso integrando vamos ter nossa equação do anel:

r 1 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ r 2 2

Como a equação da esfera é:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2 2

Isolando o z , temos:

z = ± r 2 2 - ( x 2 + y 2 )

Vamos substituir pela equação do círculo, pois no plano x y o sólido é uma circunferência:

x 2 + y 2 = r 2

Então o integrando será:

z = ± r 2 2 - ( r 2 )

e, portanto, a integral será:

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 2 2 - r 2   r   d r   d θ

Podemos separar a integral no produto de duas integrais simples:

V = 2   ∫ 0 2 π d θ ∫ r 1 r 2 r r 2 2 - r 2 d r

A primeira integral fica fácil de resolver, e ficamos com:

V = 2 ⋅ 2 π ⋅ ∫ r 1 r 2 r r 2 2 - r 2 d r

Vamos analisar com calma essa segunda integral. Podemos fazer uma pequena substituição:

u = r 2 2 - r 2

d u =   - 2 r d r

O que significa que teremos:

r d r =   - d u 2

Avaliando os limites de integração, também vemos que:

r 2 2 - r 1 2 ≤ u ≤ 0

Dessa forma, a integral que antes era:

∫ r 1 r 2 r r 2 2 - r 2 d r

Se torna:

∫ r 2 2 - r 1 2 0 - 1 2 u   d u  

Quando multiplicamos uma integral por - 1 na prática invertemos a ordem dos limites de integração. Dessa forma, teremos que resolver a seguinte integral:

1 2 ∫ 0 r 2 2 - r 1 2 u 1 2   d u = 1 2 ⋅ 2 3 u 3 2 0 r 2 2 - r 1 2  

Aplicando os limites de integração:

1 2 ∫ 0 r 2 2 - r 1 2 u 1 2   d u = 1 3 ⋅ r 2 2 - r 1 2 3 2  

Assim, nossa integral que antes era:

V = 2 ⋅ 2 π ⋅ ∫ r 1 r 2 r r 2 2 - r 2 d r

Se torna:

V = 4 π 3 r 2 2 - r 1 2 3 2

Passo 3

(b) Show! Agora que já descobrimos a expressão do volume em termos de r 1 e r 2 , dê uma olhada na figura seguinte pra relacionarmos isso com a altura h do anel, que representa a seção transversal do sólido:

Vemos que forma um triângulo entre r 1 , r 2 e metade da altura h . Então, usando Pitágoras, podemos escrever:

h 2 2 + r 1 2 = r 2 2

h 2 4 = r 2 2 - r 1 2

Logo, podemos reescrever o volume assim:

V = 4 π 3 r 2 2 - r 1 2 3 2 = 4 �� 3 h 2 4 3 2 = 4 π   .   h 3 3   .   4   .   2 = π h 3 6

Realmente, o volume só depende de h , não de r 1 ou r 2 !

Resposta

(a) V = 4 π 3 r 2 2 - r 1 2 3 2

(b) V = π h 3 6

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