Enunciado

(a) Uma broca cilíndrica de raio r 1 é usada para fazer um furo que passa pelo centro de uma esfera de raio r 2 . Determine o volume do sólido em formato de anel resultante.

(b) Expresse o volume da parte (a) em termos da altura h do anel. Observe que o volume depende somente de h e não de r 1 ou r 2 .

Passo 1

(a) Pessoal, pra calcular o volume desse sólido, temos que escrever uma integral dupla que o represente. A região em forma de anel é dada por r 1 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ r 2 2 , ou seja, r 1 ≤ r ≤ r 2 , e portanto, a integral será:

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ r 1 r 2 r 2 2 - r 2   r   d r   d θ

Podemos separar a integral no produto de duas integrais simples:

V = 2   ∫ 0 2 π d θ ∫ r 1 r 2 r r 2 2 - r 2 d r = 2   θ 0 2 π - r 2 2 - r 2 3 2 3 r 1 r 2 = 2   .   2 π   . 1 3 - r 2 2 - r 2 2 3 2 + r 2 2 - r 1 2 3 2 = 4 π 3 r 2 2 - r 1 2 3 2

Passo 2

(b) Show! Agora que já descobrimos a expressão do volume em termos de r 1 e r 2 , dê uma olhada na figura seguinte pra relacionarmos isso com a altura h do anel:

Então, temos:

h 2 2 + r 1 2 = r 2 2

h 2 4 = r 2 2 - r 1 2

Logo, podemos reescrever o volume assim:

V = 4 π 3 r 2 2 - r 1 2 3 2 = 4 π 3 h 2 4 3 2 = 4 π   .   h 3 3   .   4   .   2 = π h 3 6

Realmente, o volume só depende de h , não de r 1 ou r 2 !

Resposta

(a) V = 4 π 3 r 2 2 - r 1 2 3 2

(b) V = π h 3 6

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Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região interior a ambos os círculos r = s e nθ e r = cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y e xd A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região dentro do círculo r = 1 + cos ⁡ θ e r = 3 cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D xd A Onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 cos ⁡ θ .