Enunciado

Utilize a integral dupla para determinar a área da região.

A região interior a ambos os círculos r = s e n   θ e r = cos ⁡ θ .

Passo 1

Esboçando as duas curvas, temos que a curva vermelha representa r = s e n   θ e a curva azul r = cos ⁡ θ :

Traçando a reta y = x (ou θ = π / 4 ), podemos escrever a área como sendo

A = 2   ∫ 0 π / 4 ∫ 0 s e n   θ r   d r   d θ

O fator 2 aparece por que a integral sozinha representa apenas metade da área que queremos calcular devido a separação pela reta.

Passo 2

Calculando primeiro a integral em r :

A = ∫ 0 π / 4 s e n 2 θ   d θ

Assim,

A = 1 2 ∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 2 θ   d θ = 1 2 θ - 1 2 s e n   2 θ 0 π 4

Portanto,

A = 1 2 π 4 - 1 2 s e n π 2 - 0 + 1 2 s e n   0 = π 8 - 1 4

Resposta

π 8 - 1 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular ∬ R ( x + y ) d x d y , onde R é a região por x + y = 4 , x + y = 0 , y - x = 0 e y - x = - 1 .
Considere a transformação x , y =φ θ ,ρ dada por x = ρ cos ⁡ θ e y = ρ s e nθ . Desenhe o conjunto ϕ ( B ) onde B é o retângulo 1 ≤ ρ ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .
2. Seja B um compacto com fronteira de conteúdo nulo e com interior nãovazio e seja δ (x, y) contínua em B. Seja α ≠ 0 um real dado. Considere amudança de coordenadas x , y = s u + t v Onde u = cos ⁡
Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais: ∫ ∫ D d xd y 1 + x 2 + y 2 2 , onde D = { ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4 }
Determine a parea da lemniscata x 2 4 + y 2 9 2 = x 2 4 - y 2 9