Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 10
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
onde é a região que está a esquerda do eixo e entre as circunferências e .
Passo 1
O primeiro passo aqui é desenhar a região de integração entre os círculos de raio e raio :
Como estamos considerando apenas a região à esquerda do eixo , o ângulo polar varia entre
Já o raio varia entre
Passo 2
Para transformar a integral em coordenadas polares, usamos
Assim,
Passando para coordenadas polares, temos que
Nunca esqueça do jacobiano quando passamos para coordenadas polares! Note que as integrais em e são independentes, de modo que
Fazendo as integrais:
Logo,
Portanto,
Resposta
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Usando coordenadas polares, calcular:f) ∫ 0 2 ∫ y 4 - y 2 x d x d y
Calcular ∬ R x 2 + y 2 d x d y , sendo R a região delimitada por x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 .
Calcular ∬ R x d x d y , sendo R a região delimitada por x 2 + y 2 - 4 x = 0 .
Usando coordenadas polares, calcular:g) ∫ 0 2 ∫ 0 y x d x d y
Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:a) Círculo centrado na origem de raio a .