Enunciado

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∫ ∫ R x + y   d A ,

onde R é a região que está a esquerda do eixo y e entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

O primeiro passo aqui é desenhar a região de integração entre os círculos de raio 1 e raio 2 :

Como estamos considerando apenas a região à esquerda do eixo y , o ângulo polar varia entre

π 2 ≤ θ ≤ 3 π 2

Já o raio r varia entre

1 ≤ r ≤ 2

Passo 2

Para transformar a integral em coordenadas polares, usamos

x = r cos ⁡ θ           e         y = r   s e n   θ

Assim,

x + y = r cos ⁡ θ + s e n   θ

Passando para coordenadas polares, temos que

∫ ∫ R x + y   d A = ∫ π / 2 3 π / 2 ∫ 1 2 r cos ⁡ θ + s e n   θ ⋅ r   d r   d θ

Nunca esqueça do jacobiano r quando passamos para coordenadas polares! Note que as integrais em r e θ são independentes, de modo que

∫ ∫ R x + y   d A = ∫ π / 2 3 π / 2 cos ⁡ θ + s e n   θ   d θ ⋅ ∫ 1 2 r 2   d r

Fazendo as integrais:

∫ ∫ R x + y   d A = s e n   θ - cos ⁡ θ π 2 3 π 2 ⋅ r 3 3 1 2

Logo,

∫ ∫ R x + y   d A = s e n 3 π 2 - cos ⁡ 3 π 2 - s e n π 2 + cos ⁡ π 2   8 3 - 1 3

Portanto,

∫ ∫ R x + y   d A = - 14 3

Resposta

- 14 3

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Usando coordenadas polares, calcular:f) ∫ 0 2 ∫ y 4 - y 2 x d x d y
Calcular ∬ R x 2 + y 2 d x d y , sendo R a região delimitada por x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 .
Calcular ∬ R x d x d y , sendo R a região delimitada por x 2 + y 2 - 4 x = 0 .
Usando coordenadas polares, calcular:g) ∫ 0 2 ∫ 0 y x d x d y
Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:a) Círculo centrado na origem de raio a .