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Equações Integrais

Nos Exercícios 7-10, escreva uma equação diferencial equivalente de primeira ordem e condição inicial y .

Passo 1

Como o que se deseja é uma equação diferencial, deve-se fazer a derivada da equação dada, tal que a função resultante será a que está dentro da integral, já que a derivada “anula” a integral.

Ainda, para determinar a condição inicial, será atribuído o valor no qual a integral será nula, ou seja, o mesmo valor que o limite inferior da integral.

Passo 2

Logo, fazendo a derivada da equação, tem-se:

d y d x = x - y x = x - y

Que será a equação diferencial equivalente de primeira ordem.

Passo 3

Em seguida, para determinar a condição inicial, o valor no qual a integral é nula nesse caso é em x = 1 :

y = - 1 + ∫ 1 1 t - y t d t = - 1

Assim, independente do valor de t , a condição inicial y 1 = - 1 será valida e será a condição inicial.

Resposta

d y d x = x - y       ,       y 1 = - 1

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