Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 42

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine o ponto do plano x - 2 y + 3 z = 6 que está mais próximo do ponto ( 0,1 , 1 ) .

Bom, a distância do ponto ( 0,1 , 1 ) a um ponto ( x , y , z ) qualquer do plano, é dada pela fórmula da distância d = x 2 + y - 1 2 + z - 1 2 .

Pra achar a menor distância, podemos minimizar essa função (achar o valor mínimo dela) na restrição do ponto pertencer ao plano x - 2 y + 3 z = 6 .

Vamos fazer a função ao quadrado para não trabalharmos com raiz. Mas temos:

f x , y , x = x 2 + ( y - 1 ) 2 + z - 1 2

E

g x , y , z = x - 2 y + 3 z = 6

Para usar os multiplicadores de Lagrange precisamos fazer:

∇ f x , y , z =   λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Bom, no nosso caso então temos:

2 x ,   2 y - 2 ,   2 z - 2 = λ ( 1 , - 2,3 )

Aí a gente iguala:

2 x = λ

2 y - 2 = - 2 λ

2 z - 2 = 3 λ

Isso dá...

2 y - 2 = - 4 x → y = - 2 x + 1

2 z - 2 = 6 x → z = 3 x + 1

Agora substituímos isso na restrição...

Passo 3

x - 2 y + 3 z = 6

x - 2 - 2 x + 1 + 3 3 x + 1 = 6

x + 4 x - 2 + 9 x + 3 = 6

14 x = 5

x = 5 1 4

E y = - 10 14 + 1 = 2 7       e   z = 15 14 + 1 = 29 14

O único ponto então é o

5 14 , 2 7 , 29 14

Esse é o ponto de menos distância pedido.

Resposta

5 14 , 2 7 , 29 14

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